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La retta per due punti

Problema

Dati due punti distintiesiste una e una sola retta che li contieneentrambi. Questo è il primo postulato della geometria euclidea. Ingeometria analitica è possibile determinare l'equazione di tale rettadate lecoordinate di due suoi punti. Vale la seguente formula della retta per duepunti:

 (y - y₁)     (x - x₁)---------- = -----------(y₂ - y₁)    (x₂ - x₁)

che è utile nel metododelle corde e in quello delle tangenti.

Dimostrazione

Sono dati due punti P₁(x₁; y₁) e P₂(x₂;y₂); il fascio di rette per P₁ ha equazione:

y - y₁ = m(x  - x₁)

che al variare di m dà tutte le rette che passano per P₁; traqueste sarà certo la retta cercata; d'altra parte il coefficiente angolare traP₁ e P₂ si calcola

     (y₂ - y₁)m = ----------------(x₂ - x₁)

sostituendo m nell'equazione del fascio di rette si ha

         (y₂ - y₁)y - y₁ = --------- (x - x₁)(x₂ - x₁)

che dividendo ambo i membri per (y₂ - y₁) diventa:

 (y - y₁)     (x - x₁)---------- = -----------(y₂ - y₁)    (x₂ - x₁)

che è la classica equazione della retta per due punti. Il problema può ancherisolversi usando un sistema lineare come nel seguente esempio.

Esempio

Sono dati i due punti A (-1;+3) e B(+2; +1); l'equazione in forma esplicitadella retta è y = mx + n ; imponiamo il passaggio per Ainpratica che sia x = -1 e y=+3 e otteniamo l'equazione 3 = -m +n;analogamente imponendo il passaggio per B si ottiene l'equazione 1 =2m + n; in definitiva si ha il sistema lineare:

-m + n = 32m + n = 1

che si può risolvere sottraendo la seconda equazione dalla prima

-3m = 2   e quindi  m = -2/3

Sostituendo ora il valore trovato di m nella prima equazione si ha

2/3 + n = 3 e quindi n = 7/3

L'equazione della retta è quindi:

	1	7y = - ---- x + ----3	3